Question

Determinati toate perechile (x,y) de numere natural, care verifica relatia $x^{2} + xy-y=2018$

Answer 1

x²+y(x-1)=2018
y(x-1)=2018-x²
y=(2018-x²)/(x-1)
x, y ∈N
pt x=0,y=2018/(-1)= -2018∉N
ptx=1, relatia nu are sens  (y-y=0=2018)
 
pt x=2 ....y=(2018-4)/(2-1)=2014/1=2014
deci x=2, y=2014  este SOLUTIE

x=3.... y=(2018-9)/(3-1)=2009/2∉N
x=4...y=(2018-16)/(4-1)=2002/3∉N
x=5...y=(2018-25)/4=1993/4∉N
x=6....y=(2018-36)/5=1982/5∉N
x=7...y=(2018-49)/6=1969/6∉N
 ar trebui sa tot incercam pana la x=44, ptcare 2018-x²=82, ultimul numar natural la numarator
DAR
.........................................................
Observam (am observat cam tarziu....;))ca, dac x este impar, x² este de asemenea impar si 2018-x²este impar dar numitorul x-1 este par..or un numar impar nu se poate divide cu un numar par, ptca nu se divide cu divizorul 2 al acelui numar par
deci toate valorile impare ale lui x, pana la 43, pt care diferenta 2018-x² este pozitiva, se exclud


daca x este par, x² este par, 2018-x² este par, iar numitorul x-1 este impar
un numar  par se poate divide cu un numar impar (de exemplu, 20 cu 5)
aceste valori trebuie verificate


x=8...y=(2018-64)/7∉N

x=10,,,y=(2018-100)/9∉N

x=12....y=(2018-144)/11∉

x=14...y=(2018-196)/13∉N

x=16....y=(2018-256)/15∉N

x=18....y=(2018-324)/17∉N

x=20...y=(2018-400)/19∉N
x=22...y=(2018-484)/21∉N
x=24...y=(2018-576)/23∉N
x=26...y=(2018-676)/25∉N
x=28...y=(2018-784)/27∉N
x=30...y=(2018-900)/29=1118/29∉N

x=32...y=(2018-1024)/31∉N
x=34...y=(2018-1156)/33∉N
x=36...y= (2018-1296)/35∉N
x=38....y=(2018-1444)/37∉N
x=40 ...y=(2018-1600)/39∉N
x=42...y=(2018-1764)/41∉N
x=44...y= (2018-1936)/43∉N
pt x=45 , 2018-46²=2018-2116<0 si ne oprim
singura solutie gasita este x=2, y=2014
Verificare
4+2*2014-2014=4+2014=2018