Question

Determinați ultima cifr6 a numerelor:
a) b= 7 + 7 la puterea 2 + + 7 la puterea 3 +...+ 7 la puterea 43
b) c=3 la puterea 0 + 3 la puterea 1 + 3 la puterea 2 + 3 la puterea 3 + ... + 3 la puterea 42
c) d= 8 + 8 la puterea 2 + 8 la puterea 3 + ... + 8 la puterea 88


va rog! ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$b = {7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + ... + {7}^{43}$

observăm:

$U({7}^{1}) = 7 \\ U({7}^{2}) = 9 \\ U({7}^{3}) = 3 \\ U({7}^{4}) = 1 \\ U({7}^{5}) = 7$

șirul are 43 de termeni, iar ultima cifră a termenilor se repetă din 4 în 4 termeni

43 = 4×10 + 3

$U(U({7}^{1}) + U({7}^{2}) + U({7}^{3}) + U({7}^{4})) = \\ = U(7 + 9 + 3 + 1) = U(20) = 0$

→

$U(b) = 4 \times 10 \times 0 + U(7 + 9 + 3) \\ = U(19) = 9$

b)

$c = {3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2} + {3}^{3} + ... + {3}^{42}$

observăm:

$U({3}^{0}) = 1 \\ U({3}^{1}) = 3 \\ U({3}^{2}) = 9 \\ U({3}^{3}) = 7 \\ U({3}^{4}) = 1$

șirul are 43 de termeni, iar ultima cifră a termenilor se repetă din 4 în 4 termeni

43 = 4×10 + 3

$U(U({3}^{0}) + U({3}^{1}) + U({3}^{2}) + U({3}^{3})) = \\ = U(1 + 3 + 9 + 7) = U(20) = 0$

→

$U(c) = 4 \times 10 \times 0 + U(1 + 3 + 9) \\ = U(13) = 3$

c)

$d = {8}^{1} + {8}^{2} + {8}^{3} + ... + {8}^{88}$

observăm:

$U({8}^{1}) = 8 \\ U({8}^{2}) = 4 \\ U({8}^{3}) = 2 \\ U({8}^{4}) = 6 \\ U({8}^{5}) = 8$

șirul are 88 de termeni, iar ultima cifră a termenilor se repetă din 4 în 4 termeni

88 = 4×22

$U(U({8}^{1}) + U({8}^{2}) + U({8}^{3}) + U({8}^{4})) = \\ = U(8 + 4 + 2 + 6) = U(20) = 0$

→

$U(d) = 4 \times 22 \times 0 = 0$