Question

Determinați ultima cifra a lui 7 la puterea n

Answer 1

U(7ⁿ) ∈{1, 3, 7, 9} pentru ca: ultima cifra a lui 7 la o putere se repeta din patru in patru: 7¹=7,  7²=49,  7³=...3,  7⁴ =...1, 7⁵=...7,  7⁶=...9........

Answer 2

Salut,

Notăm cu UC - ultima cifră.

UC(7¹) = UC(7) = 7

UC(7²) = UC(49) = 9

UC(7³) = UC(343) = 3

UC(7⁴) = UC(7·7³) = UC(7)·UC(7³) = UC(7·3) = UC(21) = 1

Începând cu puterea 5 a lui 7, se reia secvența ultimei cifre, adică 7, 9, 3, 1 și apoi la fel 7, 9, 3, 1 și așa mai departe. Secvența se repetă o dată la 4 puteri, din 4 în 4.

Pentru puterea lui 7 egală cu 1 = 4*0 + 1, avem UC = 7.

Pentru puterea lui 7 egală cu 2 = 4*0 + 2, avem UC = 9.

Pentru puterea lui 7 egală cu 3 = 4*0 + 3, avem UC = 3.

Pentru puterea lui 7 egală cu 4 = 4*0 + 4, avem UC = 1.

Pentru puterea lui 7 egală cu 5 = 4*1 + 1, avem UC = 7.

Pentru puterea lui 7 egală cu 6 = 4*1 + 2, avem UC = 9.

Pentru puterea lui 7 egală cu 7 = 4*1 + 3, avem UC = 3.

Pentru puterea lui 7 egală cu 8 = 4*1 + 4, avem UC = 1 și așa mai departe.

Generalizarea pe care de fapt problema o cere este așa:

$UC(7^{4k+1})=7;\\\\UC(7^{4k+2})=9;\\\\UC(7^{4k+3})=3;\\\\UC(7^{4k+4})=1,\ unde\ k\in\mathbb{N}^{*}.$

Green eyes.