Question

determinati ultima cifra a nr a=1+2^2+3^3+...+2013^2013.

Answer 1

Se consideră că avem numere de două feluri: a şi xb, unde a şi b sunt cifrele, iar x este un număr până la 20

Studiem: $u(a^a) ; u(1^1)=1, u(2^2)=4, u(3^3)=7, u(4^4)=6,$ $u(5^5)=5, u(6^6)=6, u(7^7)=u(7^3)=3, u(8^8)=u(8^4)=6,$ $u(9^9)=u(9^1)=9.$

Studiem şi $u ( xb^{xb} )$, care $= u (b^{xb} )$

$u(0^p)=0 , u(1^q)=1, u(5^r)=5, u(6^s)=6 ,$, unde p,q,r,s∈ N. 

La fiecare al 10-lea număr natural consecutiv(suma ta nu are astfel de numere) ultima cifră ajunge să se repete. Însă, din [4,10] ⇒ că la nivelul sumei, ultima cifră se va repeta la oricare al 20-lea termine pe care îl conţine. 

Prin urmare$u(1+2^2 + 3^3 +4^4 + ...+ 2^{20} )$$= u(u(1^1) + u(2^2) + u(3^3) + u(4^4) + u(5^5) + u(6^6) + u(7^7) +$$u(8^8) + u(9^9) + u( 0^{10} )$$+ u( 1^{11} ) + u( 2^{12} ) + u( 3^{13} ) +$$u( 4^{14} ) + u( 5^{15} )+u( 6^{16} )+u( 7^{17} )+u( 8^{18} } )+$$u(9^19)+u( 0^{20} )=$ $u(1+4+7+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+$$4+9+0)=8$

2013/20= 100 rest 13 (20numere grupate in cele 100grupe) 

$u(a)=u(8*100+ u( 1^{1001}) + u( 2^{2002} ) + u( 3^{2003} )$$+ u( 4^{2004} ) + u( 5^{2005} ) + u( 6^{2006} ) + u( 7^{2007} ) + u( 8^{2008} )$$+ u( 9^{2009} ) + u(0^{2010} ) + u( 1^{2011} ) + u( 2^{2012} ) + u( 3^{2013} )$$=u(0+1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3)=7$, unde 7 e doar ultima cifră a calculului şi, în cele din urmă, ultima cifră a numărului a.