Question

determinati Ultima cifra a numarului 1+2+2^2+2^3.....2^100

Answer 1

daca ai o suma, S=x^0 +x^1+...+x^p , si nu stii formula, ea se poate afla:
-inmultesti suma cu baza (in cazul nostru x) si ai:

S*x=x^1+x^2+...+x^p +x^(p+1) apoi scazi din a doua prima =>
=> S*x-S=x^1+x^2+...+x^p +x^(p+1)-(x^0 +x^1+...+x^p) (se reduc majoritatea termenilor) si ramane :
S(x-1)=x^(p+1) -x^0 adica S(x-1)=x^(p-1)-1 =>
=>S= [x^(p+1)-1]/(x-1) -> asta e formula. 
in cazul tau x=2 si p=100 =>
=> S=[2^(100+1)-1]/(2-1) => S=(2^101-1)
cum
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32 => ultima cifra se repeta din 4 in 4 (puteri)
deci scriem numarul 2^101 ca  (2^4)^25 *2 
iar U( (2^4)^25 *2  ) =U(6^25 *2) =U(6*2)=2
cum S=(2^101-1) => U(S) = 2-1 =1