Question

Determinati ultima cifra a numarului :
a) a=2+2la 2+2la 3+2la 4+...+2la 45 (la=la putere)

Answer 1

$2^1+2^2+2^3+...+2^n=2^n-2$

$a=2^{46}-2$

puterile lui 2 se termina in 2, 4, 8, 6

46:4=11 rest 2

ultima cifra a numarului $2^{46}$ este 4
ultima cifra a numarului a este 4-2=2

Answer 2

$\rm Observam ~ca~2+2^2+2^3+2^4=2+4+8+16=30-~are~ultima \\ cifra~egala~cu~0. \\ \\ A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{45}= \\ =(2+2^2+2^3+2^4)+2^4(2+2^2+2^3+2^4)+...+2^{40}(2+2^2+2^3+2^4) \\+2^{45} = \\ =(2+2^2+2^3+2^4)(1+2^4+2^8+...+2^{40})+2^{45}= \\ =20(1+2^4+2^8+...+2^{40})+2^{45}. \\ \\ Ultima~cifra~a~lui~A~este~egala~cu~ultima~cifra~a~lui~2^{45}.$

$\rm Ultima~cifra~a~lui~2^n~este~(n \in N^*): \\ \\ \boxed{2,~daca~n=M_4+1} \\ 4,~daca~n=M_4+2 \\ 8,~daca~n=M_4+3 \\ 6,~daca~n=M_4. \\ \\ 45=4 \cdot 11+1=M_4+1,~deci~ultima~cifra~a~lui~A~este~2.$