Question

Determinați ultima cifră a numerelor :​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Ultima cifră a numărului:

$b = 7 + {7}^{2} + {7}^{3} + ... + {7}^{43}$

soluție 1:

grupăm termenii din sumă, câte 4:

$b = ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) + ({7}^{5} + {7}^{6} + {7}^{7} + {7}^{8}) + \\ ... + ({7}^{37} + {7}^{38} + {7}^{39} + {7}^{40}) + {7}^{41} + {7}^{42} + {7}^{43}$

Știm că ultima cifră a puterilor lui 7 se repetă din 4 în 4: U(7¹)=7, U(7²)=9, U(7³)=3, U(7⁴)=1

Atunci ultima cifră a sumei din fiecare paranteză este egală cu:

$U({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) = U(U({7}^{1}) + U({7}^{2}) + U({7}^{3}) + U({7}^{4}))$

$=U(7 + 9 + 3 + 1) = U(20) = 0$

Mai avem și:

$U({7}^{41} + {7}^{42} + {7}^{43}) = U(7 + 9 + 3) = U(19) = 9$

Atunci:

$U(b) = U(10\cdot 0 + 9) = U(9) = 9$

soluție 2:

Mai adăugăm un termen și obținem 11 grupe de câte 4:

$b + {7}^{44} = 7 + {7}^{2} + {7}^{3} + ... + {7}^{43} + {7}^{44}= \\ = ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) + ... + ({7}^{41} + {7}^{42} + {7}^{43} + {7}^{44})$

→

$U({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + ... + {7}^{43} + {7}^{44}) =$

$= ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) +...+ ({7}^{41} + {7}^{42} + {7}^{43} + {7}^{44})$

$= U(11\cdot 0) = U(0) = 0$

$\implies U(b + {7}^{44}) = 0$

→

$U(b + {7}^{44}) = U(b) + U({7}^{44})$

$U({7}^{44}) = 1$

$\implies U(b) + 1 = 0$

$U(b) = 0 - 1 = 10 - 1 \implies U(b) = 9$