Question

Determinați ultima cifră a numerelor :
a)99 la puterea 51
b)11 la puterea 53+15 la puterea+17 la puterea 53
c)313 la puterea 100
d)68 la puterea 86
e)89 la puterea 37+88 la puterea 38+87 la puterea 39
f)71 la puterea 10 000 001
g)1009 la puterea 9001
h) 77 la puterea 36+77 la puterea 37+77 la puterea 38+77 la puterea 39

Answer 1

a)99 la puterea 51
99¹ se termina in 9
99² se termina in 1  apoi se repeta grupuri de {9,1}
51:2\25 rest 1 
99⁵¹ se termina ca 9¹ adica in 9

 b)11 la puterea 53+15 la puterea+17 la puterea 53
11 la orice puere se termina in 1
15 ;a orice putere se termina in 5
17¹ se termina in 7
17² se termina in 9
17³ se termina in 3
17⁴ se termina in 1  apoi se repeta grupuri de{7,9,3,1}
53:4=13 si rest 1
17⁵³ se termina ca si 17¹ adica in 7

11 la puterea 53+15 la puterea+17 la puterea 53 se vatermina in 1+5+7 =13 deci in 3


c)313 la puterea 100
313¹ se termina in 3
313² se termina in 9
313³ se termina in 7
313⁴ se termina in 1  apoi se repeta grupuri de{3,9,7,1}
100 :4=25
313¹⁰⁰ se termina ca 3⁰ adica in 1

 d)68 la puterea 86
68¹ se termina in 8
68² se termina in 4
68³ se termina in 2
68⁴ se termina in 6  apoi se repeta grupuri de{8,4,2,6}
86 :4=21 si rest 2
68⁸⁶ se termina ca 8² adica in 4


e)89 la puterea 37+88 la puterea 38+87 la puterea 39
37:4=9 si rest 1 
deci 89³⁷ se termina ca 9¹ adica in 9
38:4=9 si rest 2
deci 88³⁸ se termina ca 8² adica in 4
39:4=9 si rest 3
deci 87³⁹ se termina ca 7³ adica in 3

89 la puterea 37+88 la puterea 38+87 la puterea 39 se termina in 9+4+3=16 deci in 6

f)71 la puterea 10 000 001
71 la orice putere se termina in 1
71¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰¹ se termina in 1

g)1009 la puterea 9001
9001:4=2250si rest 1
1009⁹⁰⁰¹ se termina ca 9¹ adica in 9

h) 77 la puterea 36+77 la puterea 37+77 la puterea 38+77 la puterea 39
36:4=9
77³⁶ se termina ca 7⁰ adica in 1
37:4=9 si rest 1
77³⁷ se termina ca 7¹ adica in 7
38:4=9 si rest 2
77³⁸ se termina ca 7² adica in 9
39:4=9 si rest 3
77³⁹ se termina ca 7³ adica in 3
77 la puterea 36+77 la puterea 37+77 la puterea 38+77 la puterea 39  se va termina in  1+7+9+3=20 deci in 0