Question

Determinati ultima cifra a numerelor:
a) b= 7+7^2+7^3+...+7^43
b) c=3^0+3^1+3^2+3^3+...+3^42
c) d=8+8^2+8^3+...+8^88

Answer 1

a) b= 7+7^2+7^3+...+7^43
ultima cifra a puterilor lui 7 sunt seturi de cate 4 : 7,9,3,1
7¹=7
7²=49
7³=343
7⁴=2401
7⁵=16807...
deci, socotim ultimele cifre ale tuturor termenilor pana la puterea 43:
43:4=10 rest 3
(7+9+3+1)*10+7+9+3=219
ultima cifra a lui  b  este 9;


 b) c=3^0+3^1+3^2+3^3+...+3^42

ultima cifra a puterilor lui 3 sunt seturi de cate 4 : 3,9,7,1
deci, socotim ultimele cifre ale tuturor termenilor pana la puterea 42 ( plus primul termen 3⁰=1): 
42:4=10 rest 2
1+(3+9+7+1)*10+3+9=213
=> ultima cifra a lui c este 3

c) d=8+8^2+8^3+...+8^88
ultima cifra a puterilor lui 8 sunt seturi de cate 4 : 8,4,2,6
deci, socotim ultimele cifre ale tuturor termenilor pana la puterea 88: 
88:4=22 rest 0
(8+4+2+6)*22=20*22=440
ultima cifra a lui d este 0