Question

Determinati ultima cifra a produsului p=3^71×4^62.

Answer 1

Cifrele unei puteri se repeta periodic.
Observam ca $3^1=3$,   $3^2=9$,   $3^3=27$,   $3^4=81$,   $3^5=243$, $3^6=729$,   $3^7=2187$,   $3^8=6561$,   $3^9=19683$ samd
Deci, puterile lui trei sa termina in 3, 9, 7, 1
Impartim puterea (71) la numarul cifrelor in care se termina puterile exponentului (4).
71:4=17 rest 3 (restul e ceea ce cautam)
El corespunde ultimei cifre a puterii: daca avem rest 1, numarul se termina cu cifra 3, daca avem rest 2, numarul se termina cu cifra 9, daca avem rest 3, numarul se termina cu cifra 7 si daca avem rest 0, numarul se termina cu cifra 1. (ex: 3²=9, 2:4=0 rest 2 -ultima cifra 9, 3³=27, 3:4=0 rest 3 - ultima cifra 7)
Ultima cifra a numarului $3^{71}$ este 7

La fel procedam cu $4^{62}$.
Puterile lui 4 se termina in 4, 6.
4 - corespunde restului 1
6 - corespunde restului 0
si deoarece avem doar doua posibilitati in care se termina puterile lui 4, il impartim pe 62 la 2.
62:2= 31 rest 0. Deci $4^{62}$ se termina in 6.

Ultima cifra a unui produs, cate cifre n-ar avea factorii sai, corespunde ultimei cifre la inmultirea ultimelor doua cifre a factorilor, de ex. ultima cifra a 348x9012 corespunde cu utlima cifra a lui 8x2=16 ultima cifra 6.

Deci ultima cifra a acestui produs va corespunde ultimei cifre la inmultirea lui 6 cu 7 care este 2.

Raspuns: 2