Question

Determinati ultima cifra numarului 2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^1999+2^2000

Answer 1

Calculam numarul  stiind ca 2^0=1 

1+2^2 + 2^3 + ...+2^1999+2^2000 = [(2^2000) -1]/(2-1) =(2^200) -1
Calculam ultima cifra a numarului 2^2000
2^1 =2
2^2 =4
2^3 =8
2^4 =16 (adica ultima cifra este 6)
Prin urmare ultima cifgra a anumarului (2^2000)-1 este 6-1 deci este 5

Answer 2

Tot cee avem se noteaza cu S!
S=2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^1999+2^2000|×2 totul se inmulteste cu 2 iar apoi ne da 2S
2S =2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^2000+2^2001 acum se scad S si 2S
2S-S=se scrie totul adica 2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^2000+2^2001
-1-2^1-2^2-2^3-...-2^1999+2^2000 totul se reduce ramanand decat 2^2001 si 1 care se scad
U(2^2001-1)= acum trebuie sa facem asa:
2^1=2 2^2=4 2^3=8 2^4=16 2^5=32 acum vedem ca numarul 2 se repeta,si astfel 2001 se imparte la 4 findca a patra oara se repeta cifra si ne da 500 rest 1,restul ne intereseaza si adunam restul cu baza adica 2 si ne da 3 si ultima cifra este
U(3-1)=2 U ESTE 2