Question

Determinati valorile intregi ale lui n pentru care radical din (n la puterea 2 -2n +17)apartine multimii nr, naturale va roooooooooog mult de tot

Answer 1

........................

Answer 2

Sa zicem ca avem $k$ numar natural.

Atunci conditia se poate scrie:

$\sqrt{n^2-2n+17}=k$

Facem niste manipulari algebrice:
$\sqrt{n^2-2n+1+16}=k\\ \\ \sqrt{(n-1)^2+16}=k\\ \\ (n-1)^2+16=k^2\\ \\ (n-1)^2-k^2=-16\\ \\ (n-1+k)(n-1-k)=-16$

Ramane sa gasim toate combinatiile de numere care inmultite dau valoarea $-16$:

$(-1,16)\\(1,-16)\\ (16,-1\\ (-16,1)\\ \\ (-2, 8)\\ (2,-8)\\(8,-2)\\(-8,2) \\ \\ (-4,4)\\ (4,-4)$

Pentru toate aceste cazuri trebuie sa gasim pe n. Voi lua pe grupuri.

Grupul 1:
$\left \{ {{n-1+k=-1} \atop {n-1-k=16}} \right. \Rightarrow \left \{ {{n+k=0} \atop {n-k=17}} \right. \Rightarrow 2n=17\Rightarrow n=\dfrac{17}{2}.$

Valoarea lui n nu este intreaga, deci nu o luam in considerare.

Dupa ce repeti procedeul pentru toate perechile din prima grpa, o sa vezi ca nici una nu ne da un numar intreg.


Grupul 2:
$\left \{ {{n-1+k=-2} \atop {n-1-k=8}} \right. \Rightarrow \left \{ {{n+k=-1} \atop {n-k=9}} \right. \Rightarrow 2n=10\Rightarrow n=5.$

Trebuie sa verificam daca numarul $k$ este natural: $n-k=9 \ \Rightarrow \ k=-4$. Nu e natural!

Deci $n=5$ nu este o valoare compatibila.

Ramane sa afli restul valorilor pentru fiecare pereche care a ramas de facut. Procedeul e exact la fel - trebuie doar sa schimbi niste numere.

Nu uita sa verifici in fiecare caz daca numarul $k$ e natural !!!

Spor!