Question

Determinati valorile naturale ale lui n pentru care:
0.91(6) < 1 supra 1*2+ 1 supra 2*3 + 1 supra 3*4+...+ 1 supra n(n+1) < 0.9(4), n ∈ N*
DAU CORONITA SI MULTUMESC, DACA EXPLICATI AMANUNTIT SI BINE!

Answer 1

trebuie observat ca  1/n(n+1) = 1/n-1/(n+1).
Atunci toata suma poate fi scrisa ca:

1/2 = 1-1/2
1/2*3=1/2-1/3
...
1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4...1/n-1/(n+1) = 1-1/(n+1) = n/(n+1)
scriem numerele in perioada sub forma de fractie:
0.91(6) = (916-91)/900 = 825/900 si simplificand = 11/12
0,9(4) = (94-9)/90 = 85/90 ... = 17/18
asadar 11/12<n/(n+1)<17/18 de unde rezulta ca n poate fi 12, 13, 14, 15, 16
qed