Question

Determinati valorile reale ale lui m pentru care ecuatia x^2-|x|=mx(x+1) are 3 rădăcini reale distincte.

Answer 1

x^2-|x|=mx(x+1)

x^2-|x|-mx(x+1) =0

x^2-mx(x+1) =|x|


fie functiile f(x) =x²-mx(x+1) o functie de grad 2
f(x) =x²-mx²-mx=x²(1-m)-mx

si
g(x)=|x|
a afla radacinile ecuatiei date inseamna a afla punctele de intersectie ale graficelor celor 2 functii

cu observatia ca, ptca ne intersectam cu |x|≥0, acele valori x trebuie sa fie≥0 deci si suma lor este≥0 deci si inecuatia tasata lui f(x) trebuie sa avem
 -(-m)≥0, adica
m≥0

Δ≥0 estesatisfacut∀m∈R pt caΔ=b²-4ac=m²-0=m²

cum |x|≥0, discutam pt a=1-m≥0 si m≥0, discutam m∈[0;1)
pt m=0 ecuatia devine x²=|x| care are 3 radacini reale distincte ;-1;0 si 1 deci convine

pt m∈(0;1)

x²(1-m)-mx =|x|
observam ca x=0 verifica
trebuie sa vedem dac mai gasim o radacinia negativa pt x<0 si una pozitia ptx<0
x²(1-m)-mx=-x (1)
x²(1-m)-mx+x=0
x²(1-m)-x(m-1)=0
x²(1-m)+x(1-m)=0
x(1-m)(x+1)=0
x²(1-m)=x(m-1) intr-adevar, pe langa 0, admite radacina negativa-1

ptx>0
x²(1-m)-mx=x (2)
x²(1-m)-mx-x=0
x²(1-m)-x (1+m)=0
x(x(1-m)-(1+m))=0
intr-adevar, pe langa o, admite radacina pozitiva (1+m)/(1-m) pt ca m∈(0;1)


pt m=1 ecalitatea devine -x=|x| care are o infiniatede solutiix<0,deci nu convine


pt 1-m<0 sau m>1
x²(1-m)-mx =|x|
observam ca x=0 verifica
ecuatiile (1) si (2) sunt aceleasi ca mai sus
la eciatia (1)a doua radacina, cea negativa din x²(1-m)=x(m-1) intr-adevar, pe langa 0, admite radacina negativa -1, iarasi verifica
dar, la ecuatia (2) a treia radacina , care ar trebui sa fie pozitiva
(1+m)/(1-m) este negativa, deci e sublima, dar lipseste cu desavarsire...
deci avem numai 2 radacini


ramane atunci m∈[0;1)

m-am ajuta si de niste grafice, sa vad daca se potrivesc