Question

Determinati valorile reale ale lui m pentru care $x^{2} -(2m+1)x+m(m-1)\geq 0$ pentru orice x numar real.

Answer 1

Răspuns:

$m \in (-\infty, -\frac{1}{8}]$

Explicație pas cu pas:

$x^2 - (2m+1)x + m(m-1) \geq 0,\forall x \in \mathbb{R} \iff \Delta \leq 0, a > 0\\\\\textrm{Conditia } a > 0 \textrm{ este deja satisfacuta}(a = 1)\\\\\Delta \leq 0\\\\b^2 - 4ac \leq 0\\\\ \Big(-(2m+1)\Big)^2 - 4\cdot 1\cdot m(m-1) \leq 0\\\\ 4m^2 + 4m + 1 - 4(m^2 - m) \leq 0\\\\4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 + 4m \leq 0\\\\ 8m + 1 \leq 0\\\\ 8m \leq -1\\\\ m \leq \frac{-1}{8}\implies m \in (-\infty, -\frac{1}{8}]$

Answer 2

Raspuns:

m∈(-∞,-1/8]

Explicație pas cu pas:

Conditie:

Δ≤0

Δ=b²-4*a*c

aici avem ca:

a=1, b=-(2m+1) si c=m(m-1)

Δ=(2m+1)²-4m(m-1)=4m²+4m+1-4m²+4m=8m+1;

Δ≤0⇒8m+1≤0⇒8m≤-1⇒m≤-1/8⇒m∈(-∞,-1/8]

Concluzie:

Care este cauza de nu am pus conditia Δ≥0 ?

Deci noi cunoastem ca cand Δ>0 avem doua puncte de intersectie cu axa ox astfel pentru orice x din R riscam sa avem solutii negative, deci in cazul dat cunoastem ca intre solutii avem valori <0, dar in conditie ne spune pentru orice x din R , adica aici trebuie sa existe o conditie stricta ca propozitia noastra sa fie adevarata;

Ai inteles ?

Bafta!