Question

Determinați valorile reale ale lui m pentru care x^2-2x-m>0 oricare ar fi x număr real.

Answer 1

$a\ \textgreater \ 0, \quad deci, graficul functiei de gradul doi va avea "bratele" in sus \\ , iar varful parabolei va fi punctul de minim al functiei. \\ \\ Varful este V\Big( -\dfrac{b}{2a} , -\dfrac{\Delta}{4a} \Big) \\ \\ Trebuie ca -\dfrac{\Delta}{4a} sa fie mai mare ca 0. deoarece acesta este y-ul \\ varfului functiei, adica valoarea cea mai mica pe care o poate lua\\ functia pe verticala, iar pe noi asta ne intereseaza.$

[tex]$ \ $Deci, vom avea -\dfrac{\Delta}{4a} \ \textgreater \ 0 \Rightarrow -\Delta \ \textgreater \ 0 \Rightarrow \Delta \ \textless \ 0 \Rightarrow b^2-4ac\ \textless \ 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-m) \ \textless \ 0 \Rightarrow 4 + 4m \ \textless \ 0 \Rightarrow 4m \ \textless \ -4 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow m < -1 \Rightarrow \boxed{m \in (-\infty, -1)} \\ \\ \\ $Pe scurt, conditia era \boxed{\Delta \ \textless \ 0}, $ $deoarece teoria este:$ \\ \boxed{1}$ $ $ $ $ Daca a$ \ \textgreater \ 0, \Delta \ \textless \ 0 \rightarrow f(x) \ \textgreater \ 0;$ [/tex]
$\boxed{2} \quad Daca a \ \textless \ 0, \Delta \ \textless \ 0 \rightarrow f(x) \ \textless \ 0;$

$\ Eu am incercat sa explic de ce este necesara aceasta conditie. \\ \\ Multimea valorilor lui f(x), reprezinta valorile pe care aceasta le ia pe \\ verticala (pe grafic), iar y-ul de la acel varf, reprezinta ultima valoare \\ pe care functia o ia pe verticala, deci de aceea din acel V(x_0, y_0), \\ y_0 trebuie sa fie mai mare ca 0 .$

$\ Am atasat o imagine cu reprezentarea graficelor in functie de 'm', \\ in care se vede clar de ce valorile lui m trebuie sa fie mai mici decat -1.$

Answer 2

x^2 - 2x - m > 0 oricare ar fi x număr real

Condiția este Δ < 0 ⇒ Δ' < 0 ⇒1+m < 0  ⇒ m<-1 ⇒ m∈ (-∞,  -1)


(Δ' = Δ/4)