Question

Determinaţi valorile reale ale lui x pentru care expresia arcsin(x^{2} + x + 1) are sens.

Answer 1

$arcsin(x^2+x+1) \quad -are sens doar daca ce este in paranteza este \\ cuprins intre -1 si 1, doarece sinusul poate lua valori doar intre -1 si 1 \\ \\ -1\leq x^2+x+1\leq1 \\ \\ \boxed{1} \quad x^2+x+1 \geq -1 \Rightarrow x^2+x+2 \geq 0 \\ \Delta = 1 - 8 = -7| \quad \Delta \ \textless \ 0, \quad a\ \textgreater \ 0 \Rightarrow x^2+x+2\ \textgreater \ 0, \forall x\in \mathbb_{R} \\ \\ \Rightarrow x \in \mathbb_{R}$

$\boxed{2} \quad x^2+x+1 \leq 1 \Rightarrow x^2+x\leq 0\Rightarrow x(x+1)\leq 0\\ x_1 = 0, \quad x_2 = -1 \\ a \ \textgreater \ 0 \quad ( in tabelul de semn functia are - intre radacini si + inafara lor ) \\ \\ \Rightarrow x \in [-1,0]$

$\ Din \boxed{1} \cap \boxed{2} \Rightarrow x \in [-1,0] \Rightarrow \boxed{D = [-1,0]}$