Question

Determinați valorile
reale ale parametrului , pentru care funcția admite un singur punct de extrem local.

Imi puteti explica cum se rezolva?
Incercati sa faceti asa cum se zice in barem.
Multumesc

Answer 1

Cu ajutorul baremului partial mascat/secretizat, incercam

f'(x) =4a²x³+4(a²-1)x

am derivat tinand cont ca (a*f(x))'= af'(x), unde a este o constanta

pentru a=0, f'(x)=4(a²-1)x = -4x functie de grad 1, are o singura radacina (x=0) deci functia va avea un singur extrem (un maxim)

pt a²=1 (adica a=+/-1)

f'(x)=4a²x³ care are o singura radacina reala, x=0, deci f(x) va avea un singur extrem (un minim)

pentru a²>1 adica a∈(-∞;-1)∪(1;∞)

f'(x) =4a²x³+4(a²-1)x=x(4a²x²+4(a²-1)) care are o singura radacina reala x=0 , pt ca in paranteza mare avem o suma de 2 termeni pozitivi tip bx²+d, unde b si d>0

deci f(x) are un singur extrem (un minim)

pt 0<a²<1

!!!! aici ai in barem o mica greseala se cere 'rezolvarea inecuatiei a²>1, e o greseala de tipar, repeta ce e mai sus , de fapt ar trebui " rezolvarea inecuatiei 0<a²<1 ..!!!

adica

a∈(-1;1)

f'(x) =4a²x³+4(a²-1)x= x(4a²x²+4(a²-1))

care are 3 radacini

x=0 si , avand in vedere ca paranteza mare are un termen pozitiv si unul negativ, ecuatia

4a²x²+4(a²-1)=0

a²x²+a²-1=0

va avea 2 solutii

a²x²=1-a²>0

x²=+/- (1/a)*√(1-a²)

deci, daca derivata are 3 radacini, functia va avea 3 extreme locale

cum e de grad 4 cu coeficientul termenului dominant pozitiv, extremele vor fi minim ,maxim , minim (locale )