Question

Determintati cel mai mare numar natural n astfel in cat (1*3*5*...*100) divizibil 3^n​
Va rog!!

Answer 1

Răspuns:

n = 47

Explicație pas cu pas:

$(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 99 \cdot 100) \: \: \vdots \: \: {3}^{n}$

izolăm numerele divizibile cu 3:

$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot ... \cdot 93 \cdot 95 \cdot 97 \cdot 99 \cdot 100 = (3 \cdot 9 \cdot 15 \cdot 21 \cdot ... \cdot 93 \cdot 99) \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot ... \cdot 97 \cdot 100)$

$3 \cdot 9 \cdot 15 \cdot 21 \cdot ... \cdot 93 \cdot 99 = {3}^{33} \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 29 \cdot 31 \cdot 33)$

$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 29 \cdot 31 \cdot 33 = (3 \cdot 9 \cdot 15 \cdot 21 \cdot ... \cdot 33) \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot ... \cdot 31)$

$3 \cdot 9 \cdot 15 \cdot ... \cdot 33 = {3}^{11} \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11)$

$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = {3}^{3} \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11)$

atunci:

${3}^{n} = {3}^{33} \cdot {3}^{11} \cdot {3}^{3} = {3}^{47} \implies \bf n = 47$