Question

determnati nr naturale x,y,z cele mai mari posibile astfel incat 1 ori 2 ori 3 ori......40 supra 2la puterea x ori 3 pa puterea y ori 7 la puterea z apartine nr. naturale( fractia)

Answer 1

Pentru ca fracţia să fie un număr natural, atunci produsul numerelor de la 1 la 40 (de la numărător) trebuie sa se dividă

şi la 2 la puterea x,

şi la 3 la puterea y,

si la 7 la puterea z.

 

 

Numerele de la 1 la 40 care se divid la 7 sunt următorii multipli ai lui 7 mai mici de 40:

7·1=7, 7·2=14, 7·3=21, 7·4=28, 7·5=35 (observam ca deja 7·6 = 42 > 40)

iar produsul numerelor mai mici de 40 (factorilor de la numărător) care se divid la 7 este

7·14·21·28·35 = 7·1·7·2·7·3·7·4·7·5 = 7·7·7·7·7·(1·2·3·4·5) = $7^{5}$·1·2·3·4·5

rezultă că z=5

 

 

Numerele de la 1 la 40 care se divid la 3 sunt următorii multipli ai lui 3 mai mici de 40:

3·1=3, 3·2=6, 3·3=9, 3·4=12, 3·5=15, 3·6=18, 3·7=21, 3·8=24, 3·9=27, 3·10=30, 3·11=33, 3·12=36, 3·13=39 (observam ca deja 3·14 = 42 > 40)

Deci produsul factorilor de la numărător care se divid cu 3 este

3·6·9·12·15·18·21·24·27·30·33·36·39 =

= (3·1)·(3·2)·(3·3)·(3·4)·(3·5)·(3·6)·(3·7)·(3·8)·(3·9)·(3·10)·(3·11)·(3·12)·(3·13) =

= 3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13) =

= $3^{13}$·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13) =

         [iar printre factorii de la 1 la 13, din paranteză,

         se divid la 3 numerele 3, 6, 9 şi 12

         (dintre care 9 = 3·3 =$3^{2}$ este la rândul său o putere a lui 3)]

= $3^{13}$·[1·2·3·4·5·(3·2)·7·8·$3^{2}$·10·11·(3·4)·13] =

= $3^{13}$·3·3·$3^{2}$·3·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13) =

= $3^{13}$·$3^{5}$·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13) =

= $3^{13+5}$·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13) =

= $3^{18}$·(1·2·4·5·2·7·8·10·11·4·13)

rezultă că y=18

 

 

Factorii de la numărător care se divid la 2 sunt multipli de 2 mai mici sau egali cu 40:

2·1=2, 2·2=4, 2·3=6, 2·4=8, 2·5=10, 2·6=12, 2·7=14, 2·8=16, …, 2·16=32, …, 2·20=40

iar produsul acestor factori este

2·4·6·8·10·12·14·16·…·32·34·36·38·40 =

= (2·1)·(2·2)·(2·3)·(2·4)·(2·5)·(2·6)·(2·7)·(2·8)·…·(2·16)·…·(2·19)·(2·20)=

= $2^{20}$·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·…·20)

 

Deci:

2·4·6·8·10·12·14·16·…·32·34·36·38·40 =

= $2^{20}$·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·…·20)

 

Dintre factorii de la 1 la 20 din paranteză,

se divid la 2 multipli lui 2 mai mici sau egali cu 20:

2·1=2, 2·2=4, 2·3=6, 2·4=8, 2·5=10, …, 2·10=20

 

Produsul celor 10 numere de la 1 la 20 care se divid la 2 este

2·4·6·8·10·12·14·16·18·20 =

= (2·1)·(2·2)·(2·3)·(2·4)·(2·5)·(2·6)·(2·7)·(2·8)·(2·9)·(2·10)=

= $2^{10}$·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10) =

           Se divid la 2 următorii factori din paranteză: 2, 4, 6, 8 si 10;

           iar 4=2·2, 6=2·3, 8=2·2·2, 10=2·5, rezultând

= $2^{10}$·[1·2·3·(2·2)·5·(2·3)·7·(2·2·2)·9·(2·5)] =

= $2^{10}$·2·(2·2)·2·(2·2·2)·2·(1·3·5·3·7·9·5) =

= $2^{10}$·2·$2^{2}$·2·$2^{3}$·2·(1·3·5·3·7·9·5) = $2^{10+1+2+1+3+1}$·(1·3·5·3·7·9·5) =

= $2^{18}$·(1·3·5·3·7·9·5)

Deci:

2·4·6·8·10·12·14·16·…·20 = $2^{18}$·(1·3·5·3·7·9·5)

 

Deci produsul numerelor de la 1 la 40 care se divid la 2 este

2·4·6·8·10·12·14·16·…·32·34·36·38·40 =

= $2^{20}$·(1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·…·20)=

= $2^{20}$·(2·4·6·8·10·…·20)·(1·3·5·7·9·11·…·19)=

= $2^{20}$·$2^{18}$·(1·3·5·3·7·9·5)·(1·3·5·7·9·11·…·19)=

= $2^{20+18}$·(1·3·5·3·7·9·5)·(1·3·5·7·9·11·…·19)=

= $2^{38}$·(1·3·5·3·7·9·5)·(1·3·5·7·9·11·…·19)

rezultă că x=38