Question

Diagonala unui trapez isoscel este perpendicular pe latura laterala, iar lungimea liniei mijlocie este de 9cm calculati lungimile bazelor trapezului stiind ca aria lui este de 54cm cubi

Answer 1

Fie trapezul ABCD cu AB=CD si ADIIBC, Fie MN linia mijlocie cu MN=9mm.
Aria trapezului este S=54cm². Ducem inaltmea trapezului DP, cu DP⊥BC.
Stim ca
MN=(AD+BC)/2
Iar:
S=DP×(AD+BC)/2=DP×MN ⇒DP=S/MN=54/9=6cm
In ΔBDC, dreptunghiic in D (conform ipotezei) DP este inaltime
Atunci, confotm teoremei inaltimii:
DP²=BP×PC
Pe de alta parte, trapezul fiind isoscel, PC=(BC-AD)/2
Iar
BC=BP+PC Deci BC=BP+(BC-AD)/2 sau BP=BC-(BC-AD)/2=(BC+AD)/2
Deci BP=(BC+AD)/2. Dar:
MN=(BC+AD)/2
Atunci BP=MN
Iar PC=BC-BP=BC-MN
Inlocuim:
DP²=BP×PC=MN×(BC-MN)
DP²=MN×BC-MN²
BC=(DP²+MN²)/mn
BC=(6²+9²)/9=(36+81)/9=117/9=13cm
Din MN=(AD+BC)/2 obtinem:
2MN=AD+BC sau AD=2MN-BC
AD=2×9-13=18-13=5
AD=5cm
BC=13cm