Question

Diagonalele pătratului ABCD se intersectează in punctul O. Demonstrați ca mijloacele segmentelor AO, BO, CO și DO sunt vârfurile unui pătrat

Answer 1

Notam mijloacele M, N, O, P.

$In$ ${\displaystyle \triangle }AOB$

$M-mijlocul[AO]\\N-mijlocul [BO]$

${\displaystyle \Rightarrow }MN-l.mijlocie$

Linia mijlocie este segmentul care uneste mijloacele a doua laturi. Aceasta este paralela cu cea de a treia si este egala cu jumatatea ei. Prin urmare:

$MN=\frac{AB}{2}$

$In$ ${\displaystyle \triangle }BOC$

$N-mijlocul[BO]\\O-mijlocul[CO]$

${\displaystyle \Rightarrow }ON-l.mijlocie{\displaystyle \Rightarrow }ON=\frac{BC}{2}$

Dar ABCD - patrat, deci BC = AB = l (latura patratului). Deci:

• $MN=ON=\frac{l}{2}$

Analog pentru laturile OP si MP. In final vom ajunge la concluzia:

• $MN=ON=OP=MP=\frac{l}{2}$

Pentru a demonstra ca un patrulater este patrat trebuie sa demonstram ca are un unghi drept.

$\triangle ABC{\displaystyle \sim }\triangle MNO$ (toate laturile sunt proportionale)

$\Rightarrow\angle ABC = \angle MNO =90$

Avand toate laturile congruente si un unghi drept patrulaterul MNOP este patrat.

#copaceibrainly