Question

Din punctul cel mai de sus al unei semisfere se lasă să alunece un corp de masa m. Să se stabilească unghiul alfa ce indica poziția punctului in care corpul se desprinde de sfera

Answer 1

Masa corpului: m

Raza semisferei: R

Se cere unghiul alfa pentru care corpul se desprinde de sfera.

Deoarece miscarea are loc pe o suprafata curba, asupra corpului actioneaza forta centrifuga Fcf:

Fcf = m v² / R,

unde v este viteza corpului la un moment dat.

Fcf si G=m*g actioneaza asupra corpului, obtinindu-se o rezultanta Re.

In momentul in care Re este tangentiala la suprafata semisferei, atunci corpul se va desprinde de semisfera. Momentul desprinderii este ilustrat in desenul atasat.

Asta inseamna ca in acel punct, raza R si Re sint perpendiculare, asa cum se vede din desen. Unghiul alfa se regaseste si intre G si forta rezultanta Re:

sin(α) = Fcf / G = m v² / (m g R)

Trebuie calculata viteza v, pe care o va avea corpul in momentul desprinderii.

Deoarece miscarea are loc fara frecare pe semisfera, atunci energia potentiala (data de diferenta de nivel dintre punctul cel mai de sus si momentul desprinderii) este egala cu energia cinetica la desprindere.

Ep = m g (R - R sin(α)) = m g R (1 - sin(α))

Ec = m v² / 2

Ep = Ec ⇒ m v² = 2 m g R (1 - sin(α))

Revenind in formula lui sin(α) avem:

sin(α) = m v² / (m g R) = 2 m g R (1 - sin(α)) / (m g R) = 2(1 - sin(α))

sin(α) = 2(1 - sin(α))

3 sin(α) = 2

sin(α) = 2/3