Question

Din varful unei emisfere aluneca pornind din repaus,fara frecari,un copr mic. Daca raza emisferei este R=3m,sa se afle la ce inaltime se desprinde corpul de emisfera.

Answer 1

Conservarea energiei:

$mgR=\dfrac{mv^2}{2}+mgh\Rightarrow mv^2=2mg(R-h).$

Greutatea normale e echilibrată de forța centrifugă:

$mg\cos\theta=\dfrac{mv^2}{R} \\ \\ mg\cos\theta=\dfrac{2mg(R-h)}{R} \\ \\ \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-\dfrac{h^2}{R^2}}.$

Introducem în ecuația precedentă, simplificăm mg și ridicăm la pătrat:

$R^2-h^2=4(R-h)^2 \\ \\ (R-h)(R+h)=4(R-h)^2 \\ \\ R+h=4(R-h) \\ \\ 5h=3R \\ \\ h=\dfrac{3}{5}R.$