Question

Dintr-o lungime de 1 km luam o doime din rest luam o treime,din noul rest luam o patrime si asa mai departe.
a)Dupa cate operatii de acest tip luam o lungime strict mai mica decat 1mm?
b)Dupa cate operatii de acest tip ramane o lungime mai mica de 1 mm?

Answer 1

Fie L, lungimea
la  prima operatie luam 1/2  a ramas 1/2 din L
la  a doua operatier luam 1/3 din 1/2 adica 1/(3*2)...raman 2/3 di1/(2)=1/3 din L
La attreia operatie luam 1/4 din 1/3=1/12 =1/(3*4) ...raman 3/4 din 1/3=1/4dinL
la a patra operatie luam  1/5 din 1/4=1/20=1/(485) ....raman4/5 din 1/4=1/5 din L
.................................................................................................................
presupunem ca la n-a operatie,luand 1/(n+1)din L/n. luam 1/n(n+1)  si raman 1/(n+1)L  relatia (1)
Se verifica pt n=1
luam 1/1* (1+1)=1/2 din L si raman 1/(1+1)=1/2 din L

Presupunem adevarata pt n=n relatia (1)
la a (n+1)-a operatie vom lua 1/(n+2) din 1/(n-1) , adica 1/ (n+1)(n+2) din Lsi vor ramane (n+2-1) /(n+1)(n+2)= (n+1) /(n+1) (n+2)=1/(n+2) din L

Pn ⇒Pn+1., relatia este verificata prin inductie,∀n∈N
asadar:
a n-a operatie,  luam L/n(n+1)  si raman L/(n+1)

pt cerinta a) este necesar sa aflam la a cata operatie luam o bucata mai mica decat 1mmm
L/n(n+1)<1mm
1km/n(n+1)<1mm
1/n(n+1)<1mm/1km=0,001m/1000m=1/1000000
n(n+1)>1 000 000
 cum 999*1000=999 000
si 1000 *1001=1001000 rezulta ca n=1000, la a o mia operatie luam o bucata mai mica strict decat 1mm
 cum a 1000-a operaie este succesoarea celeide a 999-a operatii, inseamna ca  dupa 999 de operatii, la a o mia,( a 1000-a)  luam o bucata mai mica strict decat 1mm

Ptcerinta b) trerbuie  ca
 L/(n+1)<1mm
1km/(n+1)<1mm
1/(n+1)<1mm/1km=1/1 000 000
n+1>1000 000
n>1000 000-1
adica n minim=1 000 000
adica dupa a 1 000 000-a   (a milioana )operatie ramane o lungime strict mai mica de 1mm