Question

dintr-un cub de branza se taie un colt,facand o sectiune cu un plan ce trece prin mijloacele a trei muchii care pleaca din acelasi varf.
a)calculati aria totala a corpului ramas,daca lungimea laturii cubului de branza este de 8 cm
b)calculati sinusul unghiului format de o diagonala a cubului cu planul bazei cubului
c)notand cu M,N,P mijloacele celot trei muchii care pleaca din acelasi varf,calculati sinusul unghiului diedru format de planul (MNP)cu planul bazei cubului

Answer 1

Fie ABCDA'B'C'D' cub. Notam cu M, N, P mijloacele segmentelor AA', A'B', respectiv A'D'. Observam ca bucata taiata are forma de piramida triunghiulara cu baza MNP triunghi echilateral.
a). Aria piramida = (P baza * apotema)/2. 
MN = (latura/2)*√2 = 2√2 cm si perimetrul bazei P este 3*2√2 = 6√2 cm.
Apotema se afla cu teorema lui Pitagora, cunoscand cealalta cateta = 2√2 si ipotenuza=4. Rezulta apotema = 2√2 cm.
Aria piramidei A'MNP = (12√2*2√2) / 2 = 24 cm^2
Aria cub = 6 fete * 8*8 = 384 cm^2
Deci, aria cautata este aria cubului minus aria piramidei, adica 384 - 24 = 364 cm^2.

b). Se construieste triunghiul ACC', unde AC este diagonala fetei ABCD si CC' este diagonala cubului. Conform teoremei lui Pitagora, AC = 8√2 si CC' = 8√3 cm. Sinusul unui unghi este cateta opusa supra ipotenuza, deci sinusul unghiului CAC' este CC'/AC' = 8 / 8√3 = √3 / 3.

c). MP este paralela cu AD', deci putem calcula sinusul unghiului D'AD. Deoarece triunghiul ADD' este dreptunghic isoscel, inseamna ca masura unghiului D'AD = 45 grade. Deci, sinunul unghiului D'AD este √2 / 2.