Question

Dintre toate triunghiurile drepunghiulare
Cu aria de 8 cm^2 sa se afle cel la care cercul circumscris lui are arie minima,
Se cere de aflat aria minima a cercului dat
Pentru rezolvare se foloseste derivata

Answer 1

aria triunghiului dreptunghic $A= \frac{x*y}{2} \\ x*y=16;y= \frac{16}{x}$
aria cercului $A_{c}= \pi R^2;R= \frac{ipotenuza}{2};R= \frac{x^2+y^2}{2}= \frac{x^2+ \frac{256}{x^2} }{2}$
R'(x)=$\frac{2x- \frac{256*2}{x^3} }{2}$
R'(x)=0
$2x^4-512=0 \\ x^4=256 \\ x=4;y=4$
ipotenuza =$\sqrt{4^2+4^2}=4 \sqrt{2}$
R=$\frac{4 \sqrt{2} }{2} =2 \sqrt{2}$
$A_{c}= \pi *(2 \sqrt{2})^2=8 \pi$