Question

Discriminantul unei ecuatii de gradul 2 cu coeficienti intregi nu poate fi :
a) -2015
b) -2016
c) 112
d) 2016
e) 2017
f) 2018

Answer 1

Răspuns:

f) 2018

Explicație pas cu pas:

ax² + bx + c = 0

Δ = b² - 4ac

Le iau pe rând:

a)  b² - 4ac = -2015

-2015 : 4 = -504 rest 1

⇒ -2015 = -4·503 + 1 ⇒ a = 1, b = 1, c = 503 (una din posibilități.)

b)  b² - 4ac = -2016

-2016 : 4 = -504 rest 0

⇒  -2016 = -4·504 + 1 ⇒ a = 1, b = 0, c = 504 (una din posibilități.)

c)  b² - 4ac = 112

112 : 4 = 28 rest 0

⇒ 112 = 4·28 + 0 ⇒ a = 1, b = 0, c = -48  (una din posibilități.)

d)  b² - 4ac = 2016 (am văzut deja că se poate.)

e)  b² - 4ac = 2017

2017:4 = 504 rest 1 ⇒ 2017 = 504·4 + 1

⇒ b² - 4ac = 1 - 4·1·(-504) ⇒ se poate.

f)  b² - 4ac = 2018

2018:4 = 504 rest 2 ⇒ 2018 = 504·4 + 2

⇒ b² - 4ac = 2 - 4·1·(-504) ?

Dar b² e pătrat perfect, deci nu poate fi 2.

Notez ac = k, k ≥ -504

⇒ b² - 4ac = b² - 4k

k ∈ {-504, -503, -502, -501, ... }

4k ∈ {-2016, -2012, -2008, -2004, ...}

-4k ∈ {2016, 2012, 2008, 2004, ...}

⇒ b² ∈ {2, 6, 10, 14, 18, 22, ... }

⇒ b² = 4k-2,  k ∈ ℕ*

⇒ b² nu este pătrat perfect.

⇒ Discriminantul 2018 nu există atunci când coeficienții sunt întregi.