Question

distanta de la centrul cercului inscris intru-un triunghi dreptunghic pana la varfurile unghiurilor ascutite sint de rad5 cm si rad10 cm.sa se afle masurile unghiurilor ascutite

Answer 1

fie A=90°

centrul cercului inscris ,notat de noi cu I, este intersectia bisectoarelor.

deci distantele date in enunt, BI=√10   si CI=√5

stim ca laturile triunghiului sunt tangente la acest cerc in punctele M, N, P (M∈AB, N∈AC si P∈BC)

deci distantele de la MI, NI, PI=r= raza cercului

se formeaza triunghiurile dreptunghice BMI si CNI in care calculam functiile trigonometrice

sinB/2=r/BI

sinC/2=r/CI

dar cum B+C=90°

sinB/2=sin(90-C)/2=sin (45-C/2)=√2/2 * cosC/2-√2/2 * sinC/2

din cele 3 relatiii:

sinC/2=√2sinB/2=√2(√2/2 * cosC/2-√2/2 * sinC/2)=cosC/2-sinC/2

adica

2sinC/2=cosC/2

2tgC/2=1

tgC/2=1/2

C/2 =arctg1/2 (fiind unghi ascutit)

se afla astfel C si B