Question

dmonstrati ca nr a= 6 put n -1 este multiplu de 5,pentru orice nr nat n.

Answer 1

Răspuns:

Metoda 1: prin inducție

Notăm cu P(n) relația de divizibilitate.

P(0): $6^0-1=1-1=0 \vdots 5$

Presupunem P(k) adevărată și demonstrăm P(k+1):

$6^{k+1}-1=6\cdot 6^k-1=\left(6^k-1\right)+5\cdot 6^k=5m+5p=5r\vdots 5$

Deci și P(k+1) este adevărată, deci P(n) este adevărată pentru orice număr natural n.

Metoda 2:

Se folosește formula

$a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

Atunci

$6^n-1=(6-1)\left(6^{n-1}+6^{n-2}+\ldots+6+1\right)=5m\vdots5$

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

pt n≠0, 6^n are ultima cifra 6

deci ult cifra a lui 6^n-1 este 6-1=5, deci nr e div cu 5

pt n=0, 6^0=1 si 1-1=0, divizibil cu 5