Question

doar cel din imagine , va rog​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Arătați că numărul 189ⁿ este suma a trei pătrate perfecte nenule, oricare ar fi numărul natural nenul n.

----

studiem două cazuri: n par și n impar

n = 2k + 1

$189 = {2}^{2} + {8}^{2} + {11}^{2}$

sau

$189 = {5}^{2} + {8}^{2} + {10}^{2}$

=>

${189}^{2k + 1} = 189\cdot{189}^{2k}$

$= ({5}^{2} + {8}^{2} + {10}^{2})\cdot {189}^{2k}$

$= {5}^{2}\cdot {189}^{2k} + {8}^{2}\cdot {189}^{2k} + {10}^{2}\cdot {189}^{2k}$

$= (5\cdot {189}^{k} )^{2} + (8\cdot{189}^{k})^{2} + (10\cdot{189}^{k})^{2}$

n = 2k

${189}^{2} = {4}^{2} + {19}^{2} + {188}^{2}$

sau

${189}^{2} = {6}^{2} + {66}^{2} + {177}^{2}$

sau

${189}^{2} = {( {3}^{3} \cdot 7)}^{2} = {3}^{6} \cdot {7}^{2} = {3}^{4} \cdot {21}^{2} \\ = ( {8}^{2} + {4}^{2} + {1}^{2} )\cdot {21}^{2} = {(8\cdot 21)}^{2} + {(4\cdot 21)}^{2} + {21}^{2}$

=>

${189}^{2k} = {189}^{2} \cdot {189}^{2k - 2}$

$= \left[{(8\cdot 21)}^{2} + {(4\cdot 21)}^{2} + {21}^{2} \right] \cdot {189}^{2(k - 1)}$

$= {\left(168 \cdot {189}^{k - 1} \right)}^{2} + {\left(84 \cdot {189}^{k - 1} \right)}^{2} + {\left(21 \cdot {189}^{k - 1} \right)}^{2}$

q.e.d.