Question

Doi copii,Alex si Cristi,joaca de mai multe ori un joc in urma caruia castigatorul primeste x puncte,iar cel care pierde primeste y puncte (x si y sunt nr nat. nenule,x>y,iar la fiecare joc unul dintre copii castiga si celalalt pierde).
Scorul final este 147 la 123,in favoarea lui Alex.Ctisti a castigat 6 partide.
Aflati numerele x si y.

Vreau rezolvare completa.Multumesc!

Answer 1

Cristi are scorul de 123, care este format din 6x+ky puncte.

Daca Cristi a cistigat 6 partide, atunci logic ca Alex a pierdut 6 partide. Analogic pentru numarul k.

147=kx+6y (-)
123=6x+ky

24=kx-6x+6y-ky
24=k(x-y)-6(x-y)
24=(x-y)(k-6)
x-y=24/(k-6)
x=24/(k-6)+y

Inlocuim in prima:

147=24k/(k-6)+ky+6y
147=24k/(k-6)+y(6+k)
y(6+k)=147-24k/(k-6)
y(6+k)=(123k-882)/(k-6)
y=(123k-882)/(k-6)(k+6)
y=(123k-882)/(k²-36)

Trebuie sa gasim o valoare a lui k, pentru care toata fractia este pozitiva si este un numar natural.

Din expresia lui x, x=24/(k-6)+y, observam ca k-6 este un divizor a lui 24, deci k∈{7,9,12,14,18,30}. 

Revenim la fractia cu y, si observam ca pentru ca ia sa fie pozitiva, 123k-882 trebuie sa fie pozitiv, de unde scoatem ca k>7,17 deci Multimea lui k se duce la k∈{9,12,14,18,30}

Pentru k=9, y=5 si x=13, deci am obtinut o solutie buna.
Pentru k=12, y=5,5 (ceea ce nu ne convine)
Pentru k=14, y=5,25 (ceea ce nu ne convine)
Pentru k=18, y=4,625(ceea ce nu ne convine)
Pentru k=30, y=3,25(ceea ce nu ne convine)

Deci obtinem o unica solutie x=13 si y=5.