Question

Doresc o rezolvare la aceasta problema. Clasa a 12-a.

Answer 1

Răspuns:

a)

$I_n=\displaystyle\int_0^1(1-x^2)^ndx=\int_0^1(1-x^2)(1-x^2)^{n-1}dx=\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx-\\-\int_0^1x^2(1-x^2)^{n-1}dx=I_{n-1}+\dfrac{1}{2n}\int_0^1x\left[(1-x^2)^n\right]'dx=\\=I_{n-1}+\dfrac{1}{2n}\left. x(1-x^2)^n\right|_0^1-\dfrac{1}{2n}I_n=I_{n-1}-\dfrac{1}{2n}I_n$

Rezultă $(2n+1)I_n=2nI_{n-1}$

b)

Aplicând formula de recurență de la a) rezultă

$I_n=\dfrac{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot 2n}{3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2n+1)}$

Explicație pas cu pas: