Question

Doresc răspuns complet la ex. 37,vă rog!! ​

Answer 1

Transformam putin numarul, aducand la acelasi numitor:

$(-1)^m\times\cfrac{1}{2}+(-1)^n\times\cfrac{1}{3}+(-1)^p\times\cfrac{1}{6}=$

$=(-1)^m\times\cfrac{3}{6}+(-1)^n\times\cfrac{2}{6}+(-1)^p\times\cfrac{1}{6}=$

$=\cfrac{3(-1)^m+2(-1)^n+(-1)^p}{6}$

Prima posibilitate este ca $m$ sa fie par. Atunci numarul devine:
$=\cfrac{3+2(-1)^n+(-1)^p}{6}$
iar pentru ca acest numar sa fie intreg, fie avem n si p pare, fie n si p impare (pentru a obtine numaratorul 6, sau numaratorul 0).
In ambele cazuri, n+p este numar par (adunand doua numere care sunt amandoua pare sau amandoua impare obtinem un numar par).

A doua posibilitate este ca $m$ sa fie impar. Atunci numarul devine:
$=\cfrac{-3+2(-1)^n+(-1)^p}{6}$
iar pentru ca acest numar sa fie intreg, fie avem n si p pare, fie n si p impare (pentru a obtine numaratorul 0, sau numaratorul -6).
La fel ca mai devreme, si in acest caz, n+p este par.