Question

Doua cercuri secante de raze 2 , respectiv 5 , au distanta dintre centre egala cu 2x - 1 , x apartine Z . Calculati x .

Answer 1

Este o problema frumoasa.
Avem doua cercuri de raze  cunoscute r₁ si r₂
Despre acescuri stim ca se intersecteaza si distanta dintre centrele lor este 2x -1
Rezolvare
Desenam doua cercuri care se intretaie.
Sa notam cu A si B punctele unde se taie cercurile si cu C piciorul perpendicularei AB _|_ O₁O₂ , C ∈ O₁O₂
Stim din ipoteza
O₁A = r₁ = 2
O₂A = r₂ = 5
O₁O₂ = 2x - 1, x∈Z
Facem observatia ca O₁ r₁ r₂ O₂ este un triunghi de inaltime AC ,
adica ΔO₁AO₂ cu AC inaltime
Mai facem observatia ca 2x-1 = O₁O₂ = O₁C + CO₂ .
Pentru calcul rapid sa mai facem urmatoarele notatii:
h = inaltimea AC
d₁ = O₁C
d₂ = CO₂
Sa scriem Pythagoras ;-) pentru h vazut dinspre cercul O₁ si dinspre cercul O₂:
h = √(r₁² - d₁²)  = √(r₂² - d₂²) = > r₁² - d₁² = r₂² - d₂²
r₁² -r₂²  = d₂² - d₁²
Stim d₁ + d₂  = 2x -1 => d₁ = 2x - 1 - d₂
r₁² - r₂²  = d₂² - (2x - 1 - d₂)²
r₁² - r₂² = d₂² - (2x-1)² + 2(2x - 1)*d₂ - d₂² = > d₂
d₂ = ((r₁² - r₂²) + (2x -1)²) / (2(2x 1) = > h
h = √(r₂² - d₂²) = √(r₁² - d₁²) => d₁ = √(r₁² - h²)
Deci stim d₁ si d₂, adica O₁C si CO₂
2x-1 = O₁O₂ = O₁C + CO₂ = d₁ + d₂ = > x
x = (d₁ + d₂ + 1) / 2