Question

Două numere sunt astfel încât dacă primul primește 15 de la al doilea se găsesc în raportul de 2:1, dar dacă al doilea primește 25 de la primul, atunci se găsesc în raportul de 1:3. Care sunt cele două numere?

Answer 1

   
[tex]\displaystyle\\ \begin{cases} \dfrac{x+15}{y-15}=\dfrac{2}{1}\\ \dfrac{x-25}{y+25}=\dfrac{1}{3} \end{cases}\\ \begin{cases} x+15=2(y-15)\\ 3(x-25)=y+25 \end{cases}\\ \begin{cases} x+15=2y-30\\ 3x-75=y+25 \end{cases}\\ \begin{cases} x-2y=-30-15\\ 3x-y=25+75 \end{cases}\\ \begin{cases} x-2y=-45~|\cdot(-1)\\ 3x-y=100~|\cdot 2 \end{cases}\\ \begin{cases} -x+2y=45\\ 6x-2y=200 \end{cases}\\ --------\text{Adunam ecuatiile.}\\ ~~~5x~~~~/~=245\\ x = \frac{245}{5} =49\\ 2y=45+49\\ y= \frac{94}{2}=47 [/tex]

Answer 2

Notăm cele două numere cu a și b.

Avem două cazuri:

[tex]\it I)\ \ \dfrac{a+15}{b-15}=\dfrac{2}{1} \Rightarrow a+15=2b-30|_{-15} \Rightarrow a=2b-45 \ \ \ \ (1) \\ \\ \\ II)\ \ \dfrac{a-25}{b+25}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow 3a-75=b+25|_{+75} \Rightarrow 3a=b+100 \ \ \ \ (2)[/tex]

Înmulțim ecuația (1) cu 3 și obținem:

[tex]\it 3a = 6b-135\ \ \ \ \ (3) \\ \\ (2), (3) \Rightarrow 6b-135 = b+100 \Rightarrow 6b-b = 100+135 \Rightarrow 5b = 235\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow b = 235:5 \Rightarrow b = 47[/tex]

Înlocuim b=47 în relația (1) și rezultă:

$\it a = 2\cdot47-45 \Rightarrow a = 94-45 \Rightarrow a = 49$

Numerele cerute în enunț sunt:  a = 49,  b = 47