Question

dreptele a si b sunt paralele. Stabiliti stabiliți care triunghiuri sunt asemenea

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Triunghiuri asemenea:

BDC cu AEC

BAF cu DFE

AFE cu BFD

DAE cu BEA

Sunt triunghiuri asemenea deoarece respecta cele 3 criterii de asemanare:

U.U (unghi - unghi), L.U.L (latura - unghi - latura), L.L.L (latura-latura-latura)

Answer 2

Explicație pas cu pas:

Analizam poza a).

Triunghiurile: CBD si CAE sunt asemenea pentru ca:

1) unghiul C este unghi comun

2) Punctele B si D se afla pe dreapta b, iar punctele A si E se afla pe dreapta a. Cum a||b, atunci si BD||AE, iar din Thales avem ca CB/CA=CD/CE.

Ne aflam in cazul l.u.l. (latura-unghi-latura).

Triunghiurile: BDF si EAF sunt asemenea pentru ca:

1) Unghiurile BFD si EFA sunt opuse la varf, deci sunt congruente.

2) Punctele B si D se afla pe dreapta b, iar punctele A si E se afla pe dreapta a. Cum a||b, atunci si BD||AE.

Considerand (BE secanta, obtinem ca unghiurile DBF si FEA sunt congruente, ca fiind alterne interne.

Considerand (DA secanta, obtinem ca unghiurile BDF si FAE sunt congruente, ca fiind alterne interne.

Ne aflam in cazul u.u.u (unghi-unghi-unghi).

Analizam poza b).

Triunghiurile: CBD si EDB sunt asemenea pentru ca:

1) unghiul C este congruent cu unghiul E (fiind unghiuri drepte).

2) Punctele C si D se afla pe dreapta a, iar punctele E si B se afla pe dreapta b. Cum a||b, atunci si CD||BE.

Considerand (BD secanta, obtinem ca unghiurile CBD si BDE sunt congruente, ca fiind alterne interne.

Considerand (DB secanta, obtinem ca unghiurile CDB si DBE sunt congruente, ca fiind alterne interne.

Ne aflam in cazul u.u.u (unghi-unghi-unghi).

Triunghiurile: ABF si DEF sunt asemenea pentru ca:

1) Unghiul AFB si DFE sunt opuse la varf.

2) Stim ca AB⊥b si DE⊥b, atunci AB||DE.

Considerand (AD secanta, obtinem ca unghiurile BAF si FDE sunt congruente, ca fiind alterne interne.

3) Stim ca unghiurile ABF si DEF au masura de 90 de grade.

Ne aflam in cazul u.u.u (unghi-unghi-unghi).

Triunghiurile: ABF si ACD sunt asemenea pentru ca:

1) Unghiul A este unghi comun.

2) Punctele C si D se afla pe dreapta a, iar punctele E si B se afla pe dreapta b. Cum a||b, atunci si CD||BE, iar din Thales avem ca AB/AC=AF/AD.

Ne aflam in cazul l.u.l. (latura-unghi-latura).

Triunghiurile: BDF si EAF sunt asemenea pentru ca:

1) Unghiurile BFD si EFA sunt opuse la varf.

2) Din congruenta triunghiurilor ABF si DEF (dupa cazul cateta-unghi, intrucat au un unghi de 90 de grade, unghiurile AFB si DFE opuse la varf BF=FE), avem ca AB=DE.

Daca AB=DE si AB||DE, inseamna ca ABDE este paralelogram. Deci, BD||AE.

Considerand (BE secanta, obtinem ca unghiurile DBF si FEA sunt congruente, ca fiind alterne interne.

Considerand (AD secanta, obtinem ca unghiurile BDF si FAE sunt congruente, ca fiind alterne interne.

Ne aflam in cazul u.u.u. (unghi-unghi-unghi).

Bonus:

In poza a) chiar daca nu sunt asemenea, triunghiurile BAF si DEF sunt congruente.

In poza b) se poate demonstra chiar ca perechile de triunghiuri:

1) BDF si EAF sunt congruente.

2) BAF si EDF sunt congruente.