Question

Dreptunghiul ABCD are AB mai mare decat BC, AB=90cm, AD=60cm.Se stie ca punctul F este mijlocul laturii AD ,iar E ∈ AB, astfel incat AE=2BE. Calculati a. Aratati ca segmentele EF si EC sunt congruente b. Calculati masura unghiului FEC c. Calculati distanta de la punnctul E la dreapta CF

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) AE=2·BE, dar AE+BE=AB, ⇒2·BE+1·BE=90, ⇒3·BE=90, ⇒BE=30cm. Atunci AE=60cm.

Din ΔAEF, după Pitagora, ⇒ EF²=AE²+AF²=60²+30²=3600+900=4500.

Din ΔBEC, după Pitagora, ⇒ EC²=BE²+BC²=30²+90²=4500.

Deci EF²=EC², ⇒EF=EC.

b) Din ΔCDF, după Pitagora, ⇒ CF²=CD²+DF²=90²+30²=8100+900=9000.

Se observă că CF²=EF²+EC², atunci după Teorema reciprocă a lui Pitagora, ⇒ΔCEF este dreptunghic în E, deci ∡FEC=90°.

c) Fie h=d(E,CF)=EG, G∈CF, ⇒EG⊥CF.

CF²=9000=900·10, ⇒CF=30√10.

EF²=EC²=4500=9·5·100, deci AF=EC=30√5. ΔCEF este dreptunghic isoscel cu baza CF, deci EF este și mediană. Atunci EG=(1/2)·CF=(1/2)·30√10=15√10cm=d(E,CF). Deci d(E,CF)=15√10 cm.