Question

e urgent, va rog mult

Answer 1

imi este greu sa pun acele semne la capatul literei M mereu asa ca o sa redenumesc simetricele lui M fata de cele 2 catete
N este simetricul lui M fata de AB. Atunci segmentul MN este perpendicular pe AB: MN_|_AB(1) 
si se injumatateste la intersectia cu AB. Notand acea intersectie cu D, rezulta ca $MD=ND=\frac{MN}{2}$(2)
P este simetricul lui M fata de AC. Atunci segmentul MP este perpendicular pe AC: MP_|_AC(3)
si se injumatateste la intersectia cu AC. Notand acea intersectie cu E, rezulta ca $ME=EP=\frac{MP}{2}${4}

a) Daca triunghiul ABC este dreptunghic in A, atunci rezulta ca
$AC_|_AB$ daca corelam cu (1) stiind ca MN este perpendicular pe AB, atunci inseamna ca MN este paralel cu AC MN||AC, atunci si DM care este parte din MN va fi paralel cu AE(parte din AC) deci DM||AE(5)
$AB_|_AC$ daca corelam cu (3) stiind ca MP este perpendicular pe AC, atunci inseamna ca MP este paralel cu AB MP||AB, atunci si ME parte din MP este paralela cu AD, parte din AB: ME||AD(6)
Ne uitam acum la patrulaterul convex AEMD. Din (5) si (6) rezulta ca patrulaterul are doua cate doua dintre laturi paralele. Care este suficient ca sa demonstreze ca AEMD este paralelogram(7)
Dar stim ca laturile adiacente ale paralelogramului: AE si AD sunt parte din catetele AC si AB, atunci si laturile respective for fi perpendiculare: AE_|_AD deci $\angle{EAMD}=90$. Stim din 7 ca AEMD este paralelogram, acum stim ca are si un unghi drept. Un paralelogram cu un unghi drept este un dreptunghi, adica are toate unghiurile drepte.
Daca are toate unghiurile drepte, atunci si $\angle{EMD}=90$ dar ME este parte din MP si D este parte din MN, deci inseamna ca si triunghiul $\angle{PMN}=90$ adica triunghiul MNP este dreptunghic
b) Avem diagonala DE trasata a dreptunghiului AEMD, acum trasam si digonala AM. Intersectia diagonalelor este notata cu F. stim ca intersectia diagonalelor unui dreptunghi este la jumatatea lor, atunci
$AF=MF=\frac{AM}{2}$ (8)
din (2) si (8) adica D mijlocul lui MN si F mijlocul lui AM, rezulta ca segmentul DF este linie mijlocie in triunghiul MAN, si va fi paralela cu a treia latura din triunghi
$DF||AN$(9)
din (4) si (8) adica E mijlocul lui MP si F mijlocul lui AM, rezulta ca segmentul EF este linie mijlocie in triunghiul MAP, si va fi paralela cu a treia latura din triunghi
$EF||AP$(10)

din 9 si 10 si stiind faptu ca DF si EF sunt parte din acelasi segment DE, rezulta ca cele 2 segmente sunt paralele intre eie
$AN||AP$ ceea ce inseamna fie ca sunt intr-adevar paralele, fie punctele A,N,P sunt coliniare. Dar vazand ca segmentele au un punct comun, A, inseamna ca de fapt sunt coliniare intre ele.