Question

E(x)-(2x
1. Se consideră expresia x-1 x+1
(10p) a) Calculaţi valoarea expresiei pentru x = 2.
E(x)=
x + 1
2(x - 1)
2x² + 6x
x+1x²+2x+1' pentru ER\ {-3;-1;0;1}
(10p) b) Arătaţi că
(10p) c) Arătaţi că P=2(a-1)E(a) este număr natural, oricare ar fi
numărul natural a.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$E(2) = \Big( \frac{4}{2 - 1} - \frac{2}{2 + 1} \Big) : \frac{8 + 12}{4 + 4 + 1} = \Big( \frac{4}{1} - \frac{2}{3} \Big) : \frac{20}{9} = \frac{12 - 2}{3} \cdot \frac{9}{20} = \frac{10}{3} \cdot \frac{9}{20} = \frac{3}{2}$

b)

$E(x) = \Big( \frac{^{x + 1)} 2x}{x - 1} - \frac{^{x - 1)}x}{x + 1} \Big) : \frac{2 {x}^{2} + 6x}{ {x}^{2} + 2x + 1} = \\ = \Big( \frac{2x(x + 1) - x(x - 1)}{(x - 1)(x - 1)} \Big) : \frac{2x(x + 3)}{ {(x + 1)}^{2}} \\ = \frac{2 {x}^{2} + 2x - {x}^{2} + x }{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{ {(x + 1)}^{2} }{2x(x + 3)} \\ = \frac{ {x}^{2} + 3x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{2x(x + 3)} \\ = \frac{x(x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{2x(x + 3)} = \bf \frac{x + 1}{2(x - 1)}$

c)

$P = 2(a - 1) \cdot E(a) = 2(a - 1) \cdot \frac{a + 1}{2(a - 1)} = \\ = a + 1$

$a \in \mathbb{N} \iff (a + 1) \in \mathbb{N} \implies P \in \mathbb{N}$