Question

(e^x-e^(-x))/2=ln(x+radical(x^2+1)

Answer 1

Observi  ca  x=0  este  solutie  , a  ecuatiei.se  pune  problema  unicitati  acesteia.
Pentru  aceasta  consideri  functia  f:R→R  f(x)=(e^x-e^(-x))/2-ln(x+√(x²+1)
Calculezi  f `(x)  si-i  determini  semnul
f `(x)=(e^x-(-e^(-x))/2-[1+2x/2√(x²+1)]/(x+√x²+1)=
e^x+e^(-x)]/2-[1+x/√(x²+1)]/(x+√(x²+1)=
[e^x+e^(-x)]/2-(√(x²+1)+x)/(x+√(x²+1)*√(x²+1)=
[e^x+e^(-x)]/2-1/√(x²+1)>0∀x  deoarece  [e^x+e^(-x)]/2>1 evident 
iar  fractia  e  subunitara  pt  ca  numaratorul e  mai mic  ca  numitorul.
Daca f `(x)>0 atunci  f  este  strict  crescatoare. Deci  f  este  injectiva,  deci  f(0)=0 solutie unica