Question

E(x)=$\frac{8x-16}{x ^{2}+x+1 } / \frac{x ^{2}-4x+4 }{x ^{3}-1 }$
a)Aflati DVA al expresiei E(x).
b)Aduceti expresia la forma cea mai simpla.
c)Calculati E( \frac{1}{2})
d)Determinati pentru care valori naturale a lui x valoarea lui E(x) este un numar natural.

Answer 1

$\frac{ \frac{8x-16}{ x^{2} +x+1} }{ \frac{ x^{2} -4x+4}{ x^{3} -1} }$=

$\frac{ \frac{8(x-2)}{x^{2}+x+1} }{ \frac{ x^{2}-2*2*x+2^{2} }{ (x-1)(x^{2}+x+1)} } =$=

$\frac{ 8(x-2)}{x^{2}+x+1} }*{ \frac{ (x-1)(x^{2}+x+1) }{ x^{2}-2*2*x+2^{2} }$=

$\frac{ 8(x-2)}{x^{2}+x+1} }*{ \frac{ (x-1)(x^{2}+x+1) }{ (x-2)^{2} }$=

$\frac{ 8}{1} }*{ \frac{ x-1 }{ x-2 }$=

$\frac{ 8*(x-1)}{ x-2} }$


$E( \frac{1}{2})=\frac{ 8*( \frac{1}{2} -1)}{ \frac{1}{2} -2} }=$

$\frac{ 8*( 1-\frac{1}{2})}{ 2-\frac{1}{2}} }=$

$\frac{ 8*\frac{1}{2}}{ \frac{3}{2}} }=$

$8*\frac{1}{2}}*{ \frac{2}{3}}= \frac{8}{3}$


Observam mai intai ca x trebuie sa fie diferit de 2 pentru ca numitorul nu poate fi 0.
Pentru ca $\frac{ 8*(x-1)}{ x-2} }$ sa fie un nr nat trebuie ca (x-2)|8*(x-1). Dar cum  (x-1) si (x-2) sunt numere consecutive, deci prime intre ele, inseamna ca (x-2)|8, adica (x-2) apartine multimii divizorilor lui 8, deci (x-2) apartine multimii {1,2,4,8} si dand, pe rand, valori lui x-1 obtinem:

x apartine multimii {3, 4, 6, 10} pentru care E(x) ia, pe rand, valorile naturale: {16, 12, 10, 9}