Question

E={x/x apartine lui Z si x este ultima cifra a numarului 2 la puterea n, n apartine N}

Answer 1

Ultima cifra a puterilor unui anumit numar intotdeauna va avea o secventa ciclica(o parte a secventei se va repeta mereu), pentru ca inmultesti mereu cu acelasi numar(baza acelei puteri) si sirul cifrelor fiind limitat(0..9) atunci eventual vei ajunge la cifra de la care ai pornit si iar se repeta ciclul.


Deci sa vedem cum evolueaza ultima cifra

$2^{0}=1$
$2^{1}=2$
$2^{2}=4$
$2^{3}=8$
$2^{4} rest 10=6(ultima cifra a lui 16)$
$2^{5} rest 10 =2(ultima cifra a lui 32)$
Am obtinut restul impartirii la 10 la ultimele 2 pentru a obtine ultima cifra.
Deci observi ca pentru exponentul 5, n=5, obtinem aceeasi ultima cifra precum exponentul 1, n=1. Deci secventa aceasta de la n=1 la n=5 se va repeta la infinit pentru numere de forma n=5k+1...n=5k+1, unde k apartine numerelor naturale.

Atunci E={1,2,4,6,8}

Answer 2

U(2^0)=1

U(2^1)=2
U(2^2)=4
U(2^3)=8
U(2^4)=6

U(2^5)=2
U(2^6)=4
...............
lasand deoparte 2^0=1 se observa ca ultima cifra a puterilor lui 2 se repeta in grupe de cate 4, (2;4;8;6).
prin urmare avem:
E={1;2;4;6;8}
Faptul ca x∈Z nu modifica cu nimic multimea E deoarece ultima cifra a unui numar zecimal face parte din multimea N⊂Z.
Notatia U(n) reprezinta ultima cifra a numarului n.