Question

E3. sa se studieze bijectivitatea functiilor:
dau coroana​

Answer 1

O funcție este bijectivă dacă este atât injectivă cât și surjectivă, sau dacă imaginea funcției coincide cu codomeniul.

f(x) bijectivă ⇔ ∀ y ∈ cod, $\exists$ ! x ∈ dom, f(x) = y

O funcție este bijectivă dacă și numai dacă pentru orice element y aparținând codomeniului, există un singur element x aparținând domeniului astfel încât f(x) = y.

Punctul a)

f(x) = y

$\displaystyle{ \frac{6-2x}{5} = y \rightarrow 6 - 2x = 5y \rightarrow -2x = 5y - 6 }$

$\displaystyle{ 2x = 6 - 5y \rightarrow x = \frac{6-5y}{2} }$

Funcția este injectivă deoarece x este unic.

$\displaystyle{ x \in [-2, 3] \rightarrow -2 \leqslant \frac{6-5y}{2} \leqslant 3 }$

$\displaystyle{ -4 \leqslant 6-5y \leqslant 6 \rightarrow -10 \leqslant -5y \leqslant 0 }$

$\displaystyle{ 10 \geqslant 5y \geqslant 0 \rightarrow 2 \geqslant y \geqslant 0 \rightarrow y \in [0, 2] }$

Am demonstrat că f(x) = y, deci funcția este surjectivă.

Este și injectivă și surjectivă, deci este bijectivă.

Punctul b)

$\displaystyle{ x^{2} - x - 2 = 0 \rightarrow a = 1, b = -1, c = -2 }$

$\displaystyle{ \Delta = b^{2} - 4ac = 1 + 8 = 9 }$

$\displaystyle{ a > 0 \rightarrow Imaginea \ functiei = [\frac{-\Delta}{4a}, +\infty) = [\frac{-9}{4}, +\infty) }$

Imaginea funcției coincide cu codomeniul, deci funcția este surjectivă.

Observăm că funcția f(x) este strict crescătoare, ∀ x ∈ R.

Dacă o funcție este strict monotonă, atunci este injectivă.

Funcția este și injectivă și surjectivă, deci este bijectivă.

Punctul c)

f(x) = y ⇒ |x| = y

Știm că modulul unui număr este egal cu numărul din modul dacă numărul este pozitiv și că modulul unui număr este egal cu opusul numărului din modul dacă numărul este negativ.

|x| = x, dacă x ≥ 0

|x| = -x, dacă x < 0

Pentru două valori distincte, x și -x, f(x) = |x| va fi egal cu același y. Deci funcția nu este injectivă, deci nu este bijectivă.

Punctul d)

f(x) = (x - 1)²

Funcția este injectivă, deoarece pentru orice x ∈ [0,1] U [2, +∞), f(x) = (x - 1)² vom obține un y diferit.

Nu știu cum să arăt că este surjectivă.