Question

E5. Să se arate că pentru orice număr neN locau loc relațiile: a) 9 -1 se divide cu 8;
b) n³ +5n se divide cu 6;
c) 13" +7-2 se divide cu 6; d) 32n+¹+2+2 se divide cu 7

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Prin inductie:

a) P(1) = 9^1 -1 = 8 = m(8)  multiplu de 8

P(n) = 9^n -1  = m(8)  presup. ca este m(8)

P(n+1) = 9^(n+1) sa aratam ca este m(8)

9^(n+1)  9*9^n -1 = 9^n -1 + 8*9^n = m(8) +m(8) = m(8)

b) P(n) = n^3 +5n = n(n^2 +5) = m(6)  presup. ca este m(6)

P(n+1) = (n+1)((n+1)^2 +5)) sa aratam ca este m(6)

P(n+1) = (n+1)((n+1)^2 +5)) = (n+1)(n^2 +2n +1 +5) =

 n^3 +2n^2 +5n +n^2 +2n +6 =

n^3 + 5n + 3n^3 +3n +6 = P(n) +3(n(n+1) +6

Dar n(n+1) sunt consecutive, deci divizibile cu 2

P(n+1) = m(6) + m(6) +6 = m(6)

c) P(n) = 13^n + 7^n -2 = m(6)  presup. ca este m(6)

P(n+1) =13^(n+1) + 7^(n+1) -2 sa aratam ca este m(6)

P(n+1) =13^(n+1) + 7^(n+1) -2 = 13*13^n + 7*7^n -2 =

13^n + 7^n -2 + 12*13^n + 6*7^n =

m(6) +m(6) +m(6) = m(6)

d) P(n) = 3*9^n +4*2^n  = m(7)  presup. ca este m(7)

P(n+1) =3*9^(n+1) +4*2^(n+1)   sa aratam ca este m(7)

etc.          (similar cu c)