E9 Să se arate că dacă a, b, ce R, atunci a) a² + b² + c² + ab + bc + ca = 2 = [(a + b)² + (b + c)² + (c + a)²]: b) a³ + b³ + c³ = (a + b + c)³- -3 (a + b)(b + c)(c + a); c) a³ + b³ + c³-3abc = (a + b + c). 3 (a² + b² + c²-ab-bc-ca).
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
a)
2×(a² + b² + c² + ab + bc + ca) = a² + 2ab + b² + b² + 2ab + c² + c² + ac + a² = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)²
=> a² + b² + c² + ab + bc + ca = ½×[(a + b)² + (b + c)² + (c + a)²]
b)
(a + b + c)³- 3 (a + b)(b + c)(c + a) = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3c²a + 3ca² + 6abc - 3(a²b + ab² + b²c + bc² + c²a + ca² + 2abc) = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3c²a + 3ca² + 6abc - 3a²b - 3ab² - 3b²c - 3bc² - 3c²a - 3ca² - 6abc = a³ + b³ + c³
=> a³ + b³ + c³ = (a + b + c)³- 3 (a + b)(b + c)(c + a)
c)
(a + b + c)(a² + b² + c²- ab - bc - ca) = a³ + ab² + ac² - a²b - abc - a²c + a²b + b³ + bc² - ab² - b²c - abc + a²c + b²c + c³ - abc - bc² - ac² = a³ + b³ + c³- 3abc
=> a³ + b³ + c³- 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c²- ab - bc - ca)
q.e.d.