Question

Ecuatia de gradul doi.
ax^2+bx+c=0
daca a este mai mare ca 0 spunem ca ea este indreptata in sus adica o curba care tine apa, ca un lighean cu fata in sus nu in jos. Daca a este mai mic decat 0 atunci ea este cu fata in jos, adica nu tine apa. daca delta=b^2-4ac este pozitiv, atunci spunem ca ea intersecteaza axa x. Atunci cand definim functia f(x)=ax^2+bx+c unde valoarea f(x) pentru un x apartine lui R poate fi notata (val f(x)=y) si putem construi punctul de coordonate (x,y) care apartine graficului functiei f(x). Daca delta =0 atunci dreapta x este intersectata intr-un singur punct, si anume cel din varful cel mai de jos sau cel mai de sus dupa cum graficul este, respectiv, tine apa sau nu tine apa. Daca delta mai mare ca 0 atunci graficul intersecteaza axa x in doua puncte egal departate la stanga si la dreapta de punctul x al carei y este sus sau jos in varful graficului. Cred ca va dati seama, daca graficul tine apa, ca sa intersecteze pe x in doua puncte varful este mai jos de axa x si anume in punctule xvarf = (x1+x2)/2 iar y sau f(xvarf) =a*xvarf^2+b*xvarf+c. Deci varful mai jos, orientarea in sus cu cele doua laturi spre infinit si daca vrem sa calculam f(x1) sau f(x2) atunci valoarea lor va fi pe y (f(x))=0, deoarece intersecteaza pe axa x si coordonatele unui punct de pe axa x este f(x)=0.

Daca graficul nu tine apa dar delta>0 atunci varful este mai sus, iar laturile in jos spre minus infinit pe y si spre plus infinit pe x o latura a graficului si spre minus infinit pe x cealalta latura.

Daca delta>=0 atunci x1=(-b-radical(delta))/2a iar x2=(-b+radical(delta))/2a

Daca avem o functie de gradul doi cu c=0 atunci ea se scrie "functia" f(x)=ax^2+bx si se rezolva "ecuatia de grad 2 ax^2+bx=0=>x(ax+b)= asta numai daca x1=0 si ax2+b=0=>x2=-b/a aici trebuie sa va spun ca sunt niste exceptii si trebuie sa consideram a si b =/=0

daca stim sa decenam bine graficul lui f(x)ax^2+bx atunci graficul lui g(x)=ax^2+bx+c este perfect identic dar mai sus cu valoarea c. Adica f(x)=g(x)+c iar daca c este mai mic ca 0 atunci este perfect la fel dar mai jos. In aceste conditii ecuatia care se rezolva simplu pentru c=0 se rezolva cu formulele cu delta si x1, x2 pentru o functie cu c. Se poate observa daca faceti graficele ca pentru o valoare critica a lui c g(x) doar atinge sau nu mai atinge axa x.

Intrebari:

1. ce puteti spune despre, Cat este c astfel incat f(xvarf)=0 adica doar sa atinga pe axa x intr-un punct?

2. ce puteti spune despre a si b, daca?
Vrem ca f(0)=0 si f(1)=0 Adica cate functii putem crea astfel incate sa aibe varful la x=0,5 si sa treaca peste x prin punctele A(1,0) si B(0,0)

Answer 1

Inlocuim pe f cu formula in functie de g
$f(x)=g(x)+c=x(ax+b)+c\Rightarrow f(x_{varf})=x_{varf}(a*x_{varf}+b)+c=0\Rightarrow c=-x_{varf}(a*x_{varf}+b)$ 
Dar am vazut mai sus ca varful este la jumatatea distantei dintre varfuri
$x_{varf}=\frac{x1+x2}{2}$
Si de asemenea am vazut care sunt valorile pentru x1 si x2 pentru delta>0
$x1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$x2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Atunci
$x_{varf}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}}{2*2a}=-\frac{2b}{2*2a}=-\frac{b}{2a}$
Atunci inlocuim in formula de mai sus
$c=-(-\frac{b}{2a}*(a*(-\frac{b}{2a})+b))=\frac{b}{2a}*(\frac{-b+2b}{2})=\frac{b}{2a}*\frac{b}{2}=\frac{b^{2}}{4a}\Rightarrow 4ac=b^{2}\Rightarrow b^{2}-4ac=0\Rightarrow \Delta=0$ ca sa vezi relatia cu Delta. Pentru c, e clara relatia
$c=\frac{b^{2}}{4a}$
2)$f(0)=0*g(0)+c=0\Rightarrow c=0$
   $f(1)=1*g(1)+0=0\Rightarrow g(1)=0\Rightarrow 1*(a*1+b)=0\Rightarrow a=-b<span>$ deci trebuie sa fie de semne opuse