Question

ecuatia x^4+(2m-1)x^2+2m+2=0, cu necunoscuta x si parametrul real m,are toate radacinile reale daca

Answer 1

......................................

Answer 2

este o ecuatie bipatrata
pt a avea toatecele 4 radacini reale, este necesar  ca ecuatia de gradul 2 atasata
y²+(2m-1)y+2m+2
sa aibe 2 racacini reale , ambele pozitive, cel mult egale cu 0
deci
Δ≥0
(-b+-√Δ)/2a≥0
-b≥√Δ, pt ca a=1>0
si -b≥0
am luat cel mult egal, pt ca putem avea radacini nule  sau multiple,reale
dec exemplu ptm=-1

4m²-4m+1-8m-8≥0  (1)
1-2m≥√(4m²-12m-7) (2)
-(2m-1)≥0  (3)

4m²-12m-7≥0  (1)
1-4m+4m²≥4m²-12m-7 (2)
1-2m≥0 (3)

(1)Studiem ecuatia atasata inecuatiei de grad 2
4m²-12m-7=0

m1,2=(12+-√(144+16*7))/8=(12+-√256)/8=(12+-16)/8=(3+-4)2
m1=-1/2
m2=7/2

pt ca 4m²-12m-7≥0,
m∈(-∞;-1/2] ∪[7/2 ;∞)  (1)







(2)1-4m≥-12m-7
4m-1≤12m+7
0≤8m+8
0≤m+1
m+1≥0
m≥-1  ⇔m∈[-1;∞) (2)


(3)
1-2m≥0
1≥2m
2m≤1
m≤1/2

(1)∩(2)∩(3)=(-∞;-1/2] ∪[7/2 ;∞)∩[-1;∞)∩(-∞;1/2]=[-1;1/2]

verificare pe capetele intervalului
 ptm=-1

x^4-3x²=0
x²(x²-3)=0
 x1=x2=0∈R
x3,4=+-√3∈R
ptm=-1/2
 x^4-2x²+1=0
(x²-1)²=0
(x-1)²(x+1)²=0
 x1=x2=1
x3=x4=-1

o verificare in interval
pt x=-0,7∈[-1;-1/2]
 x^4-2,4x²+0,6=0
y²-2,4y+0,6=0
y1,2= (2,4+-√(5,76-2,4)/2=(2,4+-√3,36)/2 >0deci x1,x2,x3,x4∈R