Question

Elicea cu raza de 1,5 m a unui avion se roteste cu turatia de 3×10^3 min^-1,iar viteza lui de aterizare este de 50 m/s.Care este viteza punctului de la varful elicei?Care este traiectoria acestui punct in raport cu avionul si in raport cu Pamantul?

Answer 1

1. Rezolvare Intuitiva

Din unitatea de masura a turatiei, $\frac{1}{min}$, putem deduce ca aceasta marime exprima numarul de rotatii efectuate intr-un anumit interval de timp. Facand conversiunea in $\frac{1}{s}$, avem: $3\cdot 10^3 : 60 s^{-1}=50s^{-1}$

O rotatie completa consta in deplasarea intregii circumferinte a elicei, a carei formula este $L=2\pi R$. Cu alte cuvinte, intr-o secunda, elicea este rotita cu d = 50 × 2πR = 100πR ≈ 471,238898 m. Astfel, componenta orizontala a vitezei avionului este $v_x=471,238898 \frac{m}{s}$

Componenta verticala este $v_y=50\frac{m}{s}$.

Din teorema lui Pitagora, in triunghiul format de $\vec{v_x}, \vec{v_y}, \vec{v}$:

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

Numeric, obtinem $\boxed{v\approx 473,884\frac{m}{s}}$

2. Rezolvare literala (recomandata la teste / competitii)

Facem urmatoarele notatii: $n = \text{turatia}, \: R, L=\text{raza si lung. cercului}$, $T=\text{interval de timp de }1 s, d=\text{distanta pe care este rotita elicea}$. Aceste marimi satisfac ecuatia (daca nu esti convinsa de ce este asa, intotdeauna te ajuta analiza dimensionala – inlocuieste cu unitatile de masura si verifica, ori fa o analogie la rezolvarea intuitiva de dinainte si vezi de ce stau lucrurile astfel):

$d=LnT\implies d=2\pi RnT$

Aceasta rotatie da nastere componentei orizontale a vitezei, $v_x=\frac{d}{T}=2\pi Rn$

Viteza rezultanta este $\vec{v}=\vec{v_x}+\vec{v_y}$, pe care o putem afla din teorema lui Pitagora:

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{4\pi^2 R^2n^2+v_y^2} \approx 473,8\frac{m}{s}$