Question

Este posibil ca ștergind unul dintre factorii produsului p=1×2 ×3 ×4×5×6×7×8×9×10,acesta sa devina pătrat perfect? Justificați răspunsul. ​

Answer 1

Răspuns: DA, prin eliminarea factorului 7

Explicație pas cu pas:

Salutare!

• Un număr este pătrat perfect dacă poate fi scris ca o putere cu exponentul 2
• Orice pătrat perfect are ultima cifră: 0, 1, 4, 5, 6 sau 9
• Nu sunt pătrate perfecte numerele care au ultima cifră: 2, 3, 7 sau 8

P = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

Încercăm să scriem numerele care se pot ca un produs

4 = 2 × 2 = 2²

6 = 2 × 3

8 = 2 × 2 × 2 = 2³

9 = 3 × 3 = 3²

10 = 2 × 5

Înlocuim numerele 4, 6, 8, 9, 10 în P sub formă de produs

$\bf P = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 2\cdot 3 \cdot 7\cdot 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 2\cdot 5 =$

$\bf P = 1\cdot 2^{1+2+1+3+1}\cdot 3^{1+1+2}\cdot 5^{1+1}\cdot 7$

$\bf P = 1\cdot 2^{8}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2}\cdot 7$

Ca numărul P să devină pătrat perfect trebuie să eliminăm factorul 7

$\bf P = 1\cdot 2^{8}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2}$

$\boxed{\bf P =(2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5)^{2}\implies patrat \: perfect}$

Formule pentru puteri

a⁰ = 1   sau   1 = a⁰

(aⁿ)ᵇ = aⁿ ˣ ᵇ    sau   aⁿ ˣ ᵇ = (aⁿ) ᵇ

aⁿ · aᵇ = (a · a) ⁿ ⁺ ᵇ    sau    (a · a) ⁿ ⁺ ᵇ = aⁿ · aᵇ

aⁿ : aᵇ = (a : a) ⁿ ⁻ ᵇ  sau   (a : a) ⁿ ⁻ ᵇ = aⁿ : aᵇ

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ   sau   (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ   sau   (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

#copaceibrainly